摩擦の様々な係数の球状圧子の場合について考えます。 図６４２aに示される有限要素の結果は、試験片表面上の半径応力の変化と、特定の圧子半径と荷重の条件と完全滑りμ＝０から滑りなし、または、完全結合接触にいたるまでの摩擦の異なる係数に関して著者によって実施された。 比較するために、式５４２ｄと５４２eを使って計算された半径応力は、μ＝０の有限要素の結果に沿って示される。 摩擦係数の増加により、すぐ外側の接触半径の最大半径応力の減少量に注意しなさい。 この領域の半径応力は、ヘルツの円錐割れの発生に関与する。 μの増加量による半径応力の減少が原因で、円錐割れの確率は、圧子と試験片表面間の増加した摩擦係数によって、減少されたかもしれない圧子荷重が与えられることにより生じるという結論を出すかもしれない。 図６４２ｂは試験片表面に沿った半径変位で示される。 この図において、横軸は接触円の半径を標準化する。 接触半径はそれゆえa分のｒ＝１です。 滑り半径は、μの値ごとに上方の横軸を満たすそれぞれの線の点から簡単に決定される。 滑り半径内の表面上の点から、材質は摩擦力によって内側の移動に制約がかかるので、半径変位はとても小さい。 類似挙動は円筒パンチ圧子で見られ、図６４３に示されます。
しかしながら、球状圧子・円筒パンチ圧子でのすべり半径と接触半径の関係には、ひとつの大きな違いがある。有限要素結果は、球状圧子において、接触半径に対するすべり半径の比率は荷重でなく、ほぼ直線的に摩擦係数に依存するにもかかわらず、すべり半径は圧子荷重に依存することを示している。円筒パンチ圧子においては、すべり半径は圧子荷重でなく、接触面の摩擦係数にのみ非直線的に依存する。
最後に、有限要素結果は、垂直方向の応力σzと変位uｚは接触摩擦の存在に影響を受けないらしいことを記す。
7. ヘルツの破壊
7.1 緒言
脆性材料のある特定の試料の引っ張りもしくは曲げ強さは、接触荷重により発生する円錐破壊において、大幅に減少する。故に、脆性材料で円錐破壊が起こる条件は大変興味深い。球状圧子の接触で起こった円錐破壊は、最初、ヘルツにより1881年、科学論文にて報告され、ヘルツの円錐破壊の発生に圧子の種類は関係ないことが述べられている。我々は、様々な圧子に関連する接触応力場の性質を第5章で、弾性接触の式を第6章で示してきた。この章では、特定の圧子サイズと試料表面状態でヘルツの円錐破壊が起こるのに必要な荷重に影響するこれらの要因を調べる。
7.2 ヘルツ接触の方程式
第6章を見たとき、ヘルツは圧子荷重P、圧子半径R、接触域a、そして最大の引張応力σmax、との間での数学的関係を定式化しました。
接触半径は荷重、圧子の半径、そして試験片と圧子の両方の弾性特性、に依存することが次の式によってわかる。
７．４ Auerbach's Law and the Griffith Energy
破壊に関してのGriffithの基準は、新しい亀裂表面を形作るのに必要なエネルギや、それに伴うひずみエネルギの解放に関係する（3章を参照）。その均一な外からの応力σaは無限固体に存在している単位幅における長さ2cの欠陥の成長に求められるもので、以下の式で与えられる。
７．５ 欠陥におけるアウエルバッハの法則の統計的説明
何人かの研究者は、アウエルバッハの法則を試験片の統計的な表面欠陥の観点から説明することを計画した。大きな圧子半径に関しては、最大引張応力の領域の増加の可能性は特に大きな欠陥が荷重の減少したところで円錐亀裂の形成が生じるかもしれないことを含んでいる。したがってＲの依存を減らしていくことである。血管の統計的説明の反論は、まず最初に、すべての材質はアウエルバッハの法則の線形形勢を作るのに必要な正確な欠陥分布を持っていることはほとんどない。２つ目に試験片表面の小さな部分の小さな圧子のサンプルなので、結果のばらつきはＲの減少に伴って増加すると予想される。けれどもハミルトンとローソンのデータにはばらつきが示されていたが、ラナイタンとローンはこのばらつきは観察されていないと主張した。最後に欠陥の統計的説明は、もしすべての欠陥が同じ大きさなら、そのときＰはＲに比例すると予想した。もしグリフィスのエネルギーのつりあい基準が方程式７．４ｄによって与えられるなら。ラナイタンとローソンはそこにはすべての欠陥が同じ大きさの場合でも、アウエルバッハの法則が保持している欠陥の大きさの範囲が存在するということを示した。
７．６ エネルギーのつりあいにおけるアウエルバッハの法則の説明
実験結果との量的一致にもかかわらず、欠陥におけるアウエルバッハの法則の統計的な説明は完全に満足のいく考えではない。代わりのやり方は、破壊力学の原理の上で基づいているが、１９６８年にフランクとローンによって提案され、もっと完全な取り扱いは１９８４年にモーギノットとモージスによって与えられた。応力場が一様ではない場所の亀裂の場合は、フランクとローンは応力拡大係数は提案された亀裂経路の使用に沿って以前の応力場を使って計算されるだろう。
